BAB III MATRIKS - Matematika Kelas 11 SMA / MA / SMK

Ringkasan Buku Sekolah  
Kelas 11 (SMA / MA / SMK) 
MATEMATIKA
BAB III MATRIKS

Latihan Soal dan Jawaban

Gambar .Susunan keramik/ubin di lantai

Bentuk susunan berupa baris dan kolom akan melahirkan konsep matriks yang akan kita pelajari. Sebagai contoh lainnya adalah susunan angka dalam bentuk tabel. Pada tabel terdapat baris atau kolom, banyak baris atau kolom bergantung pada ukuran tabel tersebut. Ini sudah merupakan gambaran dari sebuah matriks.

Masalah

Manager supermarket ingin menata koleksi barang yang tersedia.

Ubahlah bentuk susunan barang di supermarket di bawah ini menjadi matriks dan tentukan entry-entrynya.

Gambar .Susunan barang pada rak supermarket

Alternatif Penyelesaian:

Gambar di atas mendeskripsikan susunan barang-barang pada rak supermarket yang terdiri atas tiga baris dan tiga kolom. Bentuk matriks dari susunan barang tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.

Misalkan pada matriks A di atas, entry-entrynya dinyatakan dengan a, dan umumnya entry-entry dari suatu matriks diberi tanda indeks, misalnya aij yang artinya entry dari matriks A yang terletak pada baris i dan kolom j. Maka koleksi susu yang terdapat pada baris ke-1, kolom ke-1 dapat dinyatakan a₁₁ = 10. Koleksi barang yang terdapat pada baris ke-2, kolom ke-3 adalah koleksi detergen yang dinyatakan pula dengan a₂₃ = 8 dan untuk selanjutnya entry matriks A dapat dinyatakan dengan:

• a₁₁ = 10    • a₂₁ = 18    • a₃₁ = 22

• a₁₂ = 20    • a₂₂ = 12    • a₃₂ = 6

• a₁₃ = 14    • a₂₃ = 8    • a₃₃ = 17

Maka entry matriks A dapat dinyatakan sebagai berikut.

Secara induktif, entry matriks di atas dapat dibentuk menjadi:

a_ij : entry matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan, i = 1, 2, 3, .., m;

dan j = 1, 2, 3, …, n.

m × n : menyatakan ordo matriks A dengan m adalah banyak baris dan n banyak kolom matriks A.

Jenis-Jenis Matriks

Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja. Biasanya, ordo matriks seperti ini adalah 1 × n, dengan n banyak kolom pada matriks tersebut.

T_1×2= [46 43] , matriks baris berordo 1 × 2 yang merepresentasikan umur orang tua Teguh.

Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja.

Matriks kolom berordo m × 1, dengan m banyak baris pada matriks tersebut. Perhatikan matriks kolom berikut ini!

Matriks Persegi Panjang

Matriks persegi panjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo m × n.

Matriks Persegi 

Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama. Matriks ini memiliki ordo n × n.

Matriks Segitiga

Mari kita perhatikan matriks F berordo 4 × 4. Terdapat pola susunan pada suatu matriks persegi, misalnya:

Matriks Diagonal

Dengan memperhatikan konsep pada matriks segitiga di atas, jika kita cermati kombinasi pola tersebut pada suatu matriks pesegi, seperti matriks berikut ini:

Matriks Identitas

Mari kita cermati kembali matriks persegi dengan pola seperti matriks berikut ini.

Matriks Nol

Jika entry suatu matriks semuanya bernilai nol, seperti berikut:

Kesamaan Dua Matriks

Definisi

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika:

i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.

ii. Setiap entry yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, a_ij = b_ij (untuk semua nilai i dan j).

Operasi Penjumlahan Matriks

Misalkan A dan B adalah matriks berordo m × n dengan entry-entry a_ij dan b_ij. Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis C = A + B, apabila matriks C juga berordo m × n dengan entry-entry ditentukan oleh:

c_ij = a_ij + b_ij (untuk semua i dan j)

Contoh

Operasi Pengurangan Matriks

Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n. Pengurangan matriks A dengan matriks B didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A dengan matriks –B. Ingat, Matriks –B adalah lawan dari matriks B. Ditulis:

A – B = A + (–B).

Matriks dalam kurung merupakan matriks yang entrynya berlawanan dengan setiap entry yang bersesuaian matriks B.

Operasi Perkalian Skalar pada Matriks

Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Oleh karena itu perkalian real terhadap matriks juga disebut sebagai perkalian skalar dengan matriks.

Misalkan A adalah suatu matriks berordo m × n dengan entry-entry aij dan k adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k terhadap matriks A, dinotasikan C = k.A, bila matriks C berordo m × n dengan entry-entrynya ditentukan oleh:

c_ij= k.a_ij(untuk semua i dan j).

Operasi Perkalian Dua Matriks

Misalkan matriks A_m×n dan matriks B_n×p , matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak baris matriks A sama dengan banyak kolom matriks B. Hasil perkalian matriks A berordo m × n terhadap matriks B berordo n × p adalah suatu matriks berordo m × p. Proses menentukan entry-entry hasil perkalian dua matriks dipaparkan sebagai berikut.

Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks A_m×n terhadap matriks B_n×p dan dinotasikan C = A.B, maka

• Matriks C berordo m × p.

• Entry-entry matriks C pada baris ke-i dan kolom ke-j, dinotasikan c_ij, diperoleh dengan cara mengalikan entry baris ke-i dari matriks A terhadap entry kolom ke-j dari matriks B, kemudian dijumlahkan. Dinotasikan

c_ij = a_i1.b_1j + a_i2.b_2j + a_i3.a_3j + . . . + a_in.b_nj

Tranpose Matriks

Transpose dari matriks A berordo m × n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar entry baris menjadi entry kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n × m. Notasi transpose matriks A_m×n adalah A^t_m×n.

Determinan Matriks

Mengingat kembali bentuk umum persamaan linear.

Solusi persamaan tersebut adalah:

Dalam konsep matriks, nilai (a₁.b₂ – a₂.b₁) disebut sebagai determinan matriks

Oleh karena itu, nilai x dan y pada persamaan (3.2), dapat ditulis menjadi:

Sifat

Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A = |A| dan det B = |B|, maka |AB|= |A|.|B|

Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A = |A| dan det A^t = |A^t|, maka |A| = |A^t|

Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A = |A| dan det A^–1 = |A^–1|, maka 

Invers Matriks

Definisi

Misalkan A sebuah matriks persegi dengan ordo n × n, n ∈ N 

• Matriks A disebut matriks nonsingular, apabila det A ≠ 0.

• Matriks A disebut matriks singular apabila det A ≠ 0.

• A^–1 disebut invers matriks A jika dan hanya jika AA^–1 = A^–1A = I.

I adalah matriks identitas perkalian matriks.

Metode Kofaktor

Terlebih dahulu kamu memahami tentang minor suatu matriks. Minor suatu matriks A dilambangkan dengan M_ij adalah determinan matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan entry-entry pada baris ke-i dan kolom ke-j.

Jika A adalah sebuah matriks persegi berordo n × n, maka minor entry a_ij yang dinotasikan dengan M_ij, didefinisikan sebagai determinan dari submatriks A berorde (n – 1) × (n – 1) setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan.

M ₁₁, M₁₂, dan M₁₃ merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks A. Kofaktor suatu entry baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan: k_ij = (–1)^i+j |M_ij| = (–1)^ij det(M_ij)

Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan Adj(A) = (k_ij)t, yaitu:

Sifat-Sifat Invers Matriks

Misalkan matriks A berordo n × n dengan n ∈ N, det(A) ≠ 0. Jika A^–1 adalah invers matriks A, maka (A^–1)^–1 = A.

Misalkan matriks A dan B berordo n × n dengan n ∈ N, det A ≠ 0 dan det B ≠ 0. Jika A^–1 dan B^–1 adalah invers matriks A dan B, maka (AB)^–1 = B^–1 A^–1.

Matriks yang memiliki invers adalah matriks persegi dengan nilai determinannya tidak nol (0).

MATERI-MATERI LAINNYA :

BAB I INDUKSI MATEMATIKA

BAB II PROGRAM LINEAR 

BAB III MATRIKS

BAB IV TRANSFORMASI

BAB V BARISAN 

BAB VI LIMIT FUNGSI 

BAB VII TURUNAN

BAB VIII INTEGRAL 

Untuk melihat barang-barang bagus dan murah silahkan cek:

Promo Produk