Ringkasan Buku Sekolah
Kelas 11 (SMA / MA / SMK)
MATEMATIKA
BAB II PROGRAM LINEAR
Latihan Soal dan Jawaban
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Contoh
Pak Rianto, seorang petani di desa Magelang, memiliki lahan berbentuk persegi panjang seluas 600 m2. Dia hendak menanam jagung dan kentang di lahan tersebut. Karena tidak selalu tersedia modal yang cukup, Pak Rianto tidak memungkinkan untuk mengolah seluruh lahannya, akan tetapi dia ingin lahannya lebih luas ditanami kentang. Tentukan luas lahan yang mungkin untuk ditanam jagung dan kentang.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan p = luas lahan yang ditanami jagung (m2)q = luas lahan yang ditanami kentang (m2).
Dengan demikian, luas lahan yang ditanami jagung ditambah dengan luas lahan yang ditanami kentang kurang dari atau sama dengan 600 m2, dan lahan yang ditanami kentang lebih luas dari lahan yang ditanami jagung, secara matematik dituliskan:
p + q ≤ 600. (2b)
q p > ↔ q p − > 0 (2c)
Semua kemungkinan nilai p dan q yang memenuhi p q + ≤ 600 dan q p − > 0
Tabel . Semua kemungkinan nilai p dan q yang memenuhi p q + ≤ 600 dan q p − > 0
Secara geometri, himpunan penyelesaian pertidaksamaan p + q ≤ 600 dan q - p > 0, disajikan pada gambar berikut.
Gambar .Daerah penyelesaian pertidaksamaan p + q ≤ 600 dan q - p > 0
Daerah yang bersih atau daerah yang tidak diarsir adalah daerah yang memenuhi. Kita dapat mengambil suatu titik yang terdapat pada daerah penyelesaian, misalnya titik (100, 480), maka menjadi pertidaksamaan p + q ≤ 600 bernilai benar, karena 100 + 480 = 580 < 600. Tentunya kamu dapat menuliskan titik yang tak hingga banyaknya yang terdapat di daerah penyelesaian dan memenuhi p + q ≤ 600 dan q > p.
Definisi
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang berbentuk
ax + by + c < 0
ax + by + c ≤ 0
ax + by + c > 0
ax + by + c ≥ 0
dengan:
a, b : koefisien (a ≠ 0, b ≠ 0, a,b ∈ R)
c : konstanta (c ∈ R)
x, y : variabel (x, y ∈ R)
Program Linear
Masalah
Perusahaan “Galang Jaya” memproduksi alat-alat barang elektronik, yaitu transistor, kapasitor, dan resistor. Perusahaan harus mempunyai persediaan paling sedikit 200 resistor, 120 transistor, dan 150 kapasitor, yang diproduksi melalui 2 mesin, yaitu: mesin A, untuk setiap satuan jam kerja hanya mampu memproduksi 20 resistor, 10 transistor, dan 10 kapasitor; mesin B, untuk setiap satuan jam kerja hanya mampu memproduksi 10 resistor, 20 transistor, dan 30 kapasitor. Jika keuntungan untuk setiap unit yang diproduksi mesin A dan mesin B berturut-turut adalah Rp50.000,00 dan Rp120.000,00.
Bentuklah model matematika masalah perusahaan Galang Jaya.
Alternatif Penyelesaian:
Karena banyak barang yang diproduksi tidak mungkin negatif, maka kita dapat menuliskan:
Kendala nonnegatif
x ≥ 0
y ≥ 0
Artinya, untuk memenuhi persediaan, mungkin saja mesin A tidak berproduksi atau mesin B yang tidak berproduksi.
Secara geometri, kondisi kendala persedian dan kendala non–negatif, disajikan pada gambar berikut.
Gambar .Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan (1*) dan (2*)
Untuk menggambarkan sistem pertidaksamaan (1*) dan (2*), ikuti langkah-langkah yang diberikan di atas. Berbeda dengan Masalah 2.4, sistem pertidaksamaan (1*) dan (2*), mempunyai daerah penyelesaian berupa suatu daerah yang tidak terbatas (unbounded area).
Selanjutnya, kita dapat menuliskan fungsi tujuan atau fungsi sasaran masalah ini, yaitu pemilik perusahaan tentunya ingin memaksimalkan keuntungan. Dengan demikian, dapat kita tuliskan:
Fungsi Tujuan
Maksimumkan: f(x, y) = 50.000x + 120.000y atau
f(x, y) = 5x + 12y (dalam puluh ribu rupiah)
Jadi, untuk daerah penyelesaian yang diilustrasikan pada Gambar 2.8 di atas, kita akan menentukan nilai maksimum fungsi f(x, y). Hal ini akan kita kaji pada subbab berikutnya.
Definisi
Masalah program linear dua variabel adalah menentukan nilai x1, x2 yang memaksimumkan (atau meminimumkan) fungsi tujuan,
Z(x1, x2) = C1x1 + C2 x 2
dengan kendala:
(Daerah Layak/Daerah Penyelesaian/Daerah Optimum) Daerah penyelesaian masalah program linear merupakan himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi kendala suatu masalah program linear.
Menentukan Nilai Optimum dengan Garis Selidik (Nilai Maksimum atau Nilai Minimum)
Untuk menyelesaikan masalah program linear dua variabel, dengan metode grafik akan dapat ditentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaannya. Setelah kita sudah memahami menggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan, kita tinggal memahami bagaimana cara menentukan nilai fungsi tujuan di daerah penyelesaian.
Nilai suatu fungsi sasaran ada dua kemungkinan, yaitu bernilai maksimum atau minimum. Istilah nilai minimum atau nilai maksimum, disebut juga nilai optimum atau nilai ekstrim.
Informasi
Software Autograph merupakan salah satu software yang digunakan untuk menggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.
Autograph juga dapat digunakan untuk menggambarkan berbagai grafik fungsi, misalnya fungsi kuadrat dan fungsi logaritma.
Masalah
Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua jenis kapsul obat flu yang diberi nama Fluin dan Fluon. Tiap-tiap kapsul memuat tiga unsur (ingredient) utama dengan kadar kandungannya tertera dalam Tabel 2.6.
Menurut dokter, seseorang yang sakit flu akan sembuh jika dalam tiga hari (secara rata-rata) minimal menelan 12 grain aspirin, 74 grain bikarbonat dan 24 grain kodein. Jika harga Fluin Rp500,00 dan Fluon Rp600,00 per kapsul, bagaimana rencana (program) pembelian seorang pasien flu (artinya berapa kapsul Fluin dan berapa kapsul Fluon harus dibeli) supaya cukup untuk menyembuhkannya dan meminimumkan ongkos pembelian total?
Gambar .Kandungan Unsur (dalam grain)
Alternatif Penyelesaian:
Data pada masalah di atas, dapat disajikan seperti tabel berikut ini.
Tabel .Tabel persiapan
Dengan tabel tersebut, dapat kita misalkan:
x : banyak kapsul Fluin yang dibeli
y : banyak kapsul Fluon yang dibeli.
Selanjutnya, kita dengan mudah menemukan bentuk masalah program linear masalah di atas.
Mencari x, y yang memenuhi:
2x + y ≥ 12
5x + 8y ≥ 74
x + 6y ≥ 24 (a)
x ≥ 0
y ≥ 0
dan meminimumkan Z(x, y) = 5x + 6y (dalam ratusan rupiah). (b)
Sebelum kita menentukan nilai minimum fungsi Z(x, y), terlebih dahulu
kita gambarkan grafik sistem pertidaksamaan (a), untuk menemukan daerah
penyelesaian.
Gambar .Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan (a)
Daerah penyelesaian sistem (a) berupa suatu area tak terbatas (unbounded
area). Untuk menentukan nilai minimum fungsi Z(x, y) = 5x + 6y (dalam
ratusan rupiah), artinya kita harus menemukan satu titik (dari tak hingga
banyak titik yang terdapat pada daerah penyelesaian) sedemikian sehingga
menjadikan nilai fungsi menjadi yang terkecil di antara yang lain.
Untuk menemukan koordinat titik A hingga E, kamu sudah mempelajari
pada saat SMP dan SMA kelas X. Tentunya, jika kita memeriksa nilai fungsi
Z(x, y) = 5x + 6y pada kelima titik itu, bukanlah sesuatu hal yang salah, bukan?
Hasilnya disajikan pada tabel berikut.
Tabel .Nilai fungsi Z(x, y) = 5x + 6y (dalam ratus rupiah) pada lima titik sudut daerah penyelesaian
Menurut Tabel di atas nilai minimum fungsi adalah Z(x, y) = 5x + 6y adalah 5.800, dan titik yang membuat fungsi tujuan bernilai minimum adalah titik C(2, 8).
Pertanyaannya, apakah ini nilai minimum fungsi di daerah penyelesaian? Untuk memastikannya, kita selidiki nilai fungsi Z(x, y) = 5x + 6y pada daerah penyelesaian, dengan cara menggeser (ke kiri atau ke kanan; ke atas atau ke bawah). Kita namakan garis k = 5x + 6y sebagai garis selidik, untuk k bilangan real. Seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini.
Gambar .Nilai garis selidik Z(x, y) = 5x + 6y pada daerah penyelesaian
Misalnya, kita pilih 3 titik yang terdapat pada daerah penyelesaian, yaitu titik P(6, 10), Q(8, 10), dan R(12, 10), sedemikian sehingga terbentuk garis
5x + 6y = 90, 5x + 6y = 100, dan 5x + 6y = 120.Karena kita ingin menentukan nilai minimum fungsi, maka garis = 5x + 6y = 90 digeser ke bawah hingga ditemukan nilai minimum fungsi, yaitu 5.800, pada titik (2, 8).
Jadi, agar seorang pasien flu sembuh, harus mengkomsumsi 2 kapsul fluin dan 8 kapsul fluon dengan biaya Rp5.800,00
Definisi
Garis selidik adalah grafik persamaan fungsi sasaran/tujuan yang digunakan untuk menentukan solusi optimum (maksimum atau minimum) suatu masalah program linear.
Beberapa Kasus Daerah Penyelesaian
Dari beberapa masalah yang telah dibahas di atas, masalah program linear memiliki nilai optimum (maksimum atau minimum) terkait dengan eksistensi daerah penyelesaian. Oleh karena itu terdapat tiga kondisi yang dapat kita selidiki, yaitu:
1) tidak memiliki daerah penyelesaian
2) memiliki daerah penyelesaian (fungsi tujuan hanya memiliki nilai maksimum atau hanya memiliki nilai minimum)
3) memiliki daerah penyelesaian (fungsi tujuan memiliki nilai maksimum dan minimum).
Gambar .Sistem pertidaksamaan yang tidak memiliki daerah penyelesaian.
Gambar .Grafik daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan.
Gambar .Grafik daerah penyelesaian yang terbatas.
Konsep program linear didasari oleh konsep persamaan dan pertidaksamaan bilangan real, sehingga sifat-sifat persamaan linear dan pertidaksamaan linear dalam sistem bilangan real banyak digunakan sebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu masalah program linear.
Model matematika merupakan cara untuk menyelesaikan masalah kontekstual. Pembentukan model tersebut dilandasi oleh konsep berpikir logis dan kemampuan bernalar keadaan masalah nyata ke bentuk matematika.
Dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel dikatakan membentuk kendala program linear linear jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap pertidaksamaan linear pada sistem tersebut. Sistem pertidaksamaan ini disebut sebagai kendala.
Fungsi tujuan/sasaran (fungsi objektif) merupakan tujuan suatu masalah program linear, yang juga terkait dengan sistem pertidaksamaan program linear.
Nilai-nilai variabel (x, y) disebut sebagai himpunan penyelesaian pada masalah suatu program linear jika nilai (x, y) memenuhi setiap pertidaksamaan yang terdapat pada kendala program linear.
Suatu fungsi objektif terdefinisi pada daerah penyelesaian suatu masalah program linear. Fungsi objektif memiliki nilai jika sistem kendala memiliki daerah penyelesaian atau irisan.
Konsep sistem pertidaksamaan dan persamaan linear berlaku juga untuk sistem kendala masalah program linear. Artinya jika sistem tersebut tidak memiliki solusi, maka fungsi sasaran tidak memiliki nilai.
Garis selidik merupakan salah satu cara untuk menentukan nilai objektif suatu fungsi sasaran masalah program linear dua variabel. Garis selidik ini merupakan persamaan garis fungi sasaran, ax + by = k, yang digeser di sepanjang daerah penyelesaian untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi sasaran masalah program linear.
MATERI-MATERI LAINNYA :
Untuk melihat barang-barang bagus dan murah silahkan cek:
Komentar
Posting Komentar