Ringkasan Buku Sekolah
Kelas 11 (SMA / MA / SMK)
MATEMATIKA
BAB VII TURUNAN
Latihan Soal dan Jawaban
Gambar . Garis sekan, garis singgung dan garis normal
Posisi tegak pemain terhadap papan ski adalah sebuah garis yang disebut garis normal. Papan ski yang menyinggung permukaan bukit es di saat melayang ke udara adalah sebuah garis yang menyinggung kurva disebut garis singgung.
Misalkan pemain ski bergerak dari titik Q(x2, y2) dan melayang ke udara pada titik P(x1, y1) sehingga ia bergerak dari titik Q mendekati titik P. Semua garis yang menghubungkan titik Q dan P disebut tali busur atau garis sekan dengan gradien
Definisi
Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1, y1) pada kurva f. Gradien garis singgung di titik P(x1, y1) adalah limit gradien garis sekan di titik P(x1, y1), ditulis:
Definisi
Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R dengan (c – Dx, c + Dx) ⊆ S. Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika ada
Misalkan f : S → R dengan S ⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan di setiap titik c di S.
Contoh
Tentukan turunan fungsi y = x2.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan fungsi f:S→R,S⊆Rdengan x∈Sdan L∈R. Fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis,
Turunan Fungsi Aljabar
Aturan Turunan
Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka:
Aplikasi Turunan
Konsep turunan digunakan untuk menentukan interval fungsi naik/turun, keoptimalan fungsi, dan titik belok suatu kurva.
Definisi
Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R • Fungsi f dikatakan naik jika "x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) • Fungsi f dikatakan turun jika "x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
Sifat
Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x ∈ I maka
1. Jika f '(x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I.
2. Jika f '(x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I.
3. Jika f '(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I.
4. Jika f '(x) ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.
Contoh
Tentukan interval fungsi naik dan turun dari fungsi f (x) = x4 – 2x2
Alternatif Penyelesaian:
Pembuat nol dari f '(x):
f '(x) = 4x3 – 4x
⇔ 4x3 – 4x = 0
⇔ 4x(x – 1)(x + 1) = 0
⇔ x = 0 atau x = 1 atau x = –1
Dengan menggunakan interval.
Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval –1 < x < 0, atau x > 1 tetapi turun pada interval x < –1 atau 0 < x < 1. Perhatikan sketsa kurva f(x) = x4 – 2x2 berikut.
Gambar .Fungsi naik/turun kurva f(x) = x4 – 2x2
Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi
Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada x1 ∈ I sehingga:
1. Jika f '(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut stasioner/kritis
2. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) > 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik minimum fungsi
3. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik maksimum fungsi
4. Jika f "(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok.
Contoh
Sebuah partikel diamati pada interval waktu (dalam menit) tertentu berbentuk kurva f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 pada 0 ≤ t ≤ 6. Tentukan nilai optimal pergerakan partikel tersebut.
Alternatif Penyelesaian:
Daerah asal fungsi adalah {t|0 ≤ t ≤ 6}
Titik stasioner f '(t) = 0
f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 sehingga f '(t) = 3(t2 – 6t + 8) = 0 dan f "(t) = 6t – 18
f '(t) = 3(t – 2)(t – 4) = 0
t = 2 → f(2) = 4 dan t = 4 → f(4) = 0
Karena daerah asal {t|0 ≤ t ≤ 6} dan absis t = 2, t = 4 ada dalam daerah asal sehingga:
t = 0 → f(0) = –16 dan t = 6 → f(6) = 20.
Nilai minimum keempat titik adalah –16 sehingga titik minimum kurva pada daerah asal adalah A(0, –16) dan nilai maksimum keempat titik adalah 20 sehingga titik maksimum kurva pada daerah asal adalah B(6, 20)
Gambar .:Titik optimal kurva f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 untuk 0 ≤ t ≤ 6
Menggambar Grafik Fungsi
Analisis dan sketsa kurva fungsi f(x) = x4 + 2x3.
Langkah 1. Tentukan nilai pembuat nol fungsi atau f(x) = 0.
Langkah 2. Tentukan titik stasioner atau f '(x) = 0.
Langkah 3. Tentukan interval fungsi naik f '(x) > 0 atau fungsi turun f '(x) < 0.
Langkah 4. Tentukan jenis titik balik fungsi dengan menganalisis kecekungan fungsi.
Langkah 5. Tentukan titik belok atau f "(x) = 0.
Langkah 6. Tentukan beberapa titik bantu.
Kecepatan adalah laju perubahan dari fungsi s = f(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu:
Percepatan adalah laju perubahan dari fungsi kecepatan v(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu:
MATERI-MATERI LAINNYA :
Untuk melihat barang-barang bagus dan murah silahkan cek:
Komentar
Posting Komentar