BAB VII TURUNAN - Matematika Kelas 11 SMA / MA / SMK

Ringkasan Buku Sekolah 
Kelas 11 (SMA / MA / SMK) 
MATEMATIKA
BAB VII TURUNAN

Latihan Soal dan Jawaban

Gambar . Garis sekan, garis singgung dan garis normal

Posisi tegak pemain terhadap papan ski adalah sebuah garis yang disebut garis normal. Papan ski yang menyinggung permukaan bukit es di saat melayang ke udara adalah sebuah garis yang menyinggung kurva disebut garis singgung.

Misalkan pemain ski bergerak dari titik Q(x2, y2) dan melayang ke udara pada titik P(x1, y1) sehingga ia bergerak dari titik Q mendekati titik P. Semua garis yang menghubungkan titik Q dan P disebut tali busur atau garis sekan dengan gradien 

Definisi

Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P(x1, y1) pada kurva f. Gradien garis singgung di titik P(x1, y1) adalah limit gradien garis sekan di titik P(x1, y1), ditulis:

Definisi

Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R dengan (c – Dx, c + Dx) ⊆ S. Fungsi f dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika ada 

Misalkan f : S → R dengan S ⊆ R. Fungsi f dapat diturunkan pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan di setiap titik c di S.

Contoh

Tentukan turunan fungsi y = x².

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan fungsi f:S→R,S⊆Rdengan x∈Sdan L∈R. Fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis,

Turunan Fungsi Aljabar

Aturan Turunan

Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka:

Aplikasi Turunan

Konsep turunan digunakan untuk menentukan interval fungsi naik/turun, keoptimalan fungsi, dan titik belok suatu kurva.

Definisi

Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R • Fungsi f dikatakan naik jika "x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) • Fungsi f dikatakan turun jika "x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Sifat

Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x ∈ I maka

1. Jika f '(x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I.

2. Jika f '(x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I.

3. Jika f '(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I.

4. Jika f '(x) ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.

Contoh

Tentukan interval fungsi naik dan turun dari fungsi f (x) = x⁴ – 2x²

Alternatif Penyelesaian:

Pembuat nol dari f '(x):

f '(x) = 4x³ – 4x

⇔ 4x³ – 4x = 0

⇔ 4x(x – 1)(x + 1) = 0

⇔ x = 0 atau x = 1 atau x = –1

Dengan menggunakan interval.

Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval –1 < x < 0, atau x > 1 tetapi turun pada interval x < –1 atau 0 < x < 1. Perhatikan sketsa kurva f(x) = x⁴ – 2x² berikut.

Gambar .Fungsi naik/turun kurva f(x) = x⁴ – 2x²

Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada x1 ∈ I sehingga:

1. Jika f '(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut stasioner/kritis

2. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) > 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik minimum fungsi

3. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik maksimum fungsi

4. Jika f "(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok.

Contoh

Sebuah partikel diamati pada interval waktu (dalam menit) tertentu berbentuk kurva f(t) = t³ – 9t² + 24t – 16 pada 0 ≤ t ≤ 6. Tentukan nilai optimal pergerakan partikel tersebut.

Alternatif Penyelesaian:

Daerah asal fungsi adalah {t|0 ≤ t ≤ 6}

Titik stasioner f '(t) = 0

f(t) = t³ – 9t² + 24t – 16 sehingga f '(t) = 3(t² – 6t + 8) = 0 dan f "(t) = 6t – 18

f '(t) = 3(t – 2)(t – 4) = 0

t = 2 → f(2) = 4 dan t = 4 → f(4) = 0

Karena daerah asal {t|0 ≤ t ≤ 6} dan absis t = 2, t = 4 ada dalam daerah asal sehingga:

t = 0 → f(0) = –16 dan t = 6 → f(6) = 20.

Nilai minimum keempat titik adalah –16 sehingga titik minimum kurva pada daerah asal adalah A(0, –16) dan nilai maksimum keempat titik adalah 20 sehingga titik maksimum kurva pada daerah asal adalah B(6, 20)

Gambar .:Titik optimal kurva f(t) = t³ – 9t² + 24t – 16 untuk 0 ≤ t ≤ 6

Menggambar Grafik Fungsi

Analisis dan sketsa kurva fungsi f(x) = x⁴ + 2x³.

Langkah 1. Tentukan nilai pembuat nol fungsi atau f(x) = 0.

Langkah 2. Tentukan titik stasioner atau f '(x) = 0.

Langkah 3. Tentukan interval fungsi naik f '(x) > 0 atau fungsi turun f '(x) < 0.

Langkah 4. Tentukan jenis titik balik fungsi dengan menganalisis kecekungan fungsi.

Langkah 5. Tentukan titik belok atau f "(x) = 0.

Langkah 6. Tentukan beberapa titik bantu.

Kecepatan adalah laju perubahan dari fungsi s = f(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu:

Percepatan adalah laju perubahan dari fungsi kecepatan v(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu:

MATERI-MATERI LAINNYA :

BAB I INDUKSI MATEMATIKA

BAB II PROGRAM LINEAR 

BAB III MATRIKS

BAB IV TRANSFORMASI

BAB V BARISAN 

BAB VI LIMIT FUNGSI 

BAB VII TURUNAN

BAB VIII INTEGRAL 

Untuk melihat barang-barang bagus dan murah silahkan cek:

Promo Produk