BAB I INDUKSI MATEMATIKA - Matematika Kelas 11 SMA / MA / SMK

Ringkasan Buku Sekolah
Kelas 11 (SMA / MA / SMK)
MATEMATIKA
BAB I INDUKSI MATEMATIKA

Latihan Soal dan Jawaban

Gambar .Ilustrasi sebanyak n objek (papan) yang disusun dengan jarak dua objek yang berdekatan sama.

Dari ilustrasi di atas, dapat dibayangkan bahwa menjatuhkan papan S1 ke arah S 2 pasti papan yang paling ujung, sebut papan Sn (untuk setiap n bilangan asli), juga jatuh. Dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa jika papan S1 jatuh maka papan S15 juga jatuh bahkan papan Sn juga jatuh.

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini: 

a. Langkah Awal (Basic Step): P(1) benar.

b. Langkah Induksi (Induction Step): Jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar, untuk setiap k bilangan asli.

Penerapan Induksi Matematika pada Barisan Bilangan

Masalah 

Misalkan u i menyatakan suku ke i suatu barisan bilangan asli, dengan i =

1, 2, 3, . . . , n.

Diberikan barisan bilangan asli, 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, . . . .

Rancang suatu formula untuk menghitung suku ke 1.000 barisan bilangan tersebut. Ujilah kebenaran formula yang diperoleh dengan menggunakan induksi matematika.

Alternatif Penyelesaian:

Terlebih dahulu kita mengkaji barisan bilangan asli yang diberikan, bahwa untuk n = 1 maka u₁ = 2; untuk n = 2 maka u₂ = 9; untuk n = 3 maka u₃ = 16; demikian seterusnya. Artinya kita harus merancang suatu formula sedemikian sehingga formula tersebut dapat menentukan semua suku-suku barisan bilangan tersebut. 

kita misalkan u_n = an + b, dengan n bilangan asli dan a dan b bilangan real tak nol.

• jika n = 1 maka u₁ = a.(1) + b ↔ a + b = 2 

• jika n = 2 maka u₃ = a.(3) + b ↔ 3a + b = 16 

Dengan pengalaman belajar menyelesaikan persamaan linear dua variabel, dari Persamaan (1) dan (2) diperoleh a = 7 dan b = –5.

Jadi formula untuk barisan bilangan asli, 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, . . . adalah u_n = 7n – 5.

Penerapan Induksi Matematika pada Keterbagian

Contoh

Dengan induksi matematika, tunjukkan bahwa 11ⁿ – 6 habis dibagi 5, untuk n bilangan asli.

Alternatif Penyelesaian:

Kita misalkan P(n) = 11ⁿ – 6, dengan n bilangan asli.

Pada contoh ini kita harus menunjukkan bahwa 11ⁿ – 6 dapat dituliskan sebagai bilangan kelipatan 5. Akan ditunjukkan bahwa P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

a) Langkah Awal

Kita dapat memilih n = 3, sedemikian sehingga, 11³ – 6 = 1.325 dan 1.325 habis dibagi 5, yaitu 1.325 = 5(265).

Dengan demikian P(3) habis dibagi 5.

b) Langakah Induksi

Karena P(3) benar, maka P(4) benar, sedemikian sehingga disimpulkan P(k) = 11^k – 6 benar, untuk k bilangan asli. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jika P(k) = 11^k – 6 habis dibagi 5, maka P(k + 1) = 11^{(k + 1)} – 6 habis dibagi 5.

Karena 11^k – 6 habis dibagi 5, maka dapat kita misalkan 11^k – 6 = 5m, untuk m bilangan bulat positif. Akibatnya, 11^k = 5m + 6.

Bentuk 11 ^{k + 1} – 6 = 11^k(11) – 6,

= (5m + 6)(11) – 6 (karena 11^k = 5m + 6)

= 55m + 60

= 5(11m + 12).

Dengan demikian P(k + 1) = 11^{(k + 1)} – 6 dapat dinyatakan sebagai kelipatan 5, yaitu 5(11m + 12).

Jadi benar bahwa P(k + 1) = 11^{(k + 1)} – 6 habis dibagi 5.

Karena P(n) = 11ⁿ – 6 memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka terbukti P(n) = 11ⁿ – 6 habis dibagi 5, untuk n bilangan asli.

Penerapan Induksi Matematika pada Ketidaksamaan (Ketaksamaan)

Contoh

Dengan menggunakan induksi matematika, selidiki kebenaran pernyataan, untuk setiap bilangan asli, P(n) = n² – n + 41 adalah bilangan prima.

Alternatif Penyelesaian

Sebelumnya kamu sudah mengetahui konsep bilangan prima. Untuk menyelidiki kebenaran pernyataan P(n) = n² – n + 41 adalah bilangan prima, akan dikaji apakah pernyataan tersebut memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Langkah Awal

Untuk menyelidiki pernyataan P(n), kita tidak cukup hanya menyelidiki untuk n = 1, n = 2. Mari kita cermati yang disajikan pada tabel berikut.

Tabel .P(n) = n² – n + 41, untuk n bilangan asli

Pada Tabel, penyelidikan telah dilakukan bahkan hingga n = 5, dan semuanya merupakan bilangan prima. Namun, ada n bilangan asli yang mengakibatkan P(n) bukan bilangan prima, yaitu n = 41.

Karena langkah awal dari prinsip induksi matematika tidak dipenuhi, maka disimpulkan bahwa P(n) = n² – n + 41, untuk setiap n bilangan asli bukan merupakan formula bilangan prima.

Salah satu dasar berpikir dalam matematika ialah penalaran deduktif.

Berbeda dengan penalaran deduktif, penalaran induktif bergantung pada pengerjaan dengan kajian yang berbeda dan pembentukan/perancangan suatu formula melalui indikasi-indikasi untuk setiap pengamatan.

Penalaran induksi merupakan penarikan kesimpulan dari berbagai kajiankajian atau fakta yang valid.

Prinsip induksi matematika merupakan suatu alat yang dapat digunakan membuktikan suatu jenis pernyataan matematis. Dengan mengasumsikan P(n) sebagai pernyataan bilangan asli yang benar.

Pernyataan bilangan asli P(n) dikatakan terbukti benar menurut prinsip induksi matematika jika memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Untuk langkah awal prinsip induksi matematika, pengujian P(n) harus mempertimbangkan nilai n yang besar. Hal ini diperlukan untuk menjamin kebenaran P(n).

Jika salah satu dari prinsip induksi matematika tidak dipenuhi oleh suatu pernyataan P(n), maka P(n) salah, untuk setiap n bilangan asli.

MATERI-MATERI LAINNYA :

BAB I INDUKSI MATEMATIKA

BAB II PROGRAM LINEAR 

BAB III MATRIKS

BAB IV TRANSFORMASI

BAB V BARISAN 

BAB VI LIMIT FUNGSI 

BAB VII TURUNAN

BAB VIII INTEGRAL 

Untuk melihat barang-barang bagus dan murah silahkan cek:

Promo Produk